Die Berechnung des Osterfestes

Julianischer Kalender

Der Termin des Osterfestes wurde auf dem Konzil zu Nicäa im Jahre 325 festgelegt, das damit den Osterfeststreit zwischen kleinasiatischen und römischen Gemeinden beendete. Danach sollte es auf den Sonntag nach dem ersten Vollmond an oder nach dem Frühlingsanfang fallen.

Eine astronomisch exakte Bestimmung des vom Nicäischen Konzil bestimmten Ostertermins wäre für die damalige Zeit nahezu unmöglich gewesen, da sowohl der Frühlingsanfang (der dem Frühlingsäquinoktium gleichzusetzen ist) als auch die Vollmonde nur schwer im Voraus zu berechnen waren. Das Osterfest wurde daher zyklisch berechnet. Dazu war einerseits die Festlegung des Frühlingsanfanges vonnöten, und andererseits musste ein zum Julianischen Kalender parallel laufender Mondkalender entwickelt werden, mit dem die Vollmonde festgelegt werden konnten.

Mit der Berechnung des Ostertermins wurde die Kirche von Alexandria beauftragt, die das Ergebnis jährlich an den Papst weiterleiten sollte. Von Rom aus sollte der Ostertag verkündet werden. Die im Folgenden beschriebene Art und Weise der Berechnung des Osterfestes im Julianischen Kalender ist die seit dem 6. Jahrhundert von der Römischen Kirche praktizierte, die von der alexandrinischen Rechnung in einigen, für den Ostertermin unwesentlichen Punkten abwich.

In den für die damalige Zeit sehr weit auseinander liegenden Gebieten des Römischen Reiches, dessen westlicher Teil im Jahre 476 unter den Stürmen der Völkerwanderung endgültig zusammenbrach, kamen verschiedene Ostertermine auf. Christliche Gemeinden in Kleinasien feierten Ostern unabhängig vom Wochentag am 14. Nisan des Jüdischen Kalenders. Viele von ihnen gaben diesen Brauch auch nach dem Konzil von Nicäa im Jahre 325 nicht auf. Nach dem Datum ihres Ostertages im Jüdischen Kalender wurden diese Gemeinden als Quartodezimaner bezeichnet. Gegen Ende des 4. Jahrhunderts feierten aber nur noch einige Sekten (Audianer, Montanisten, Novatianer) Ostern an diesem Tag.

Aber auch zwischen den Kirchen in Rom und Alexandria war die Bestimmung des Ostersonntages umstritten, und im 4. Jahrhundert wurde Ostern oft unterschiedlich gefeiert. Während der Ostersonntag nach der alexandrinischen Rechnung zwischen dem 22. März und dem 25. April lag, fiel er nach der römischen Rechnung auf Daten zwischen dem 25. März und dem 21. April. Diese so genannten Ostergrenzen wurden im Jahre 343 auf Seiten der Römer erweitert. Eine einheitliche Rechnung wurde mit den Ostertafeln des Dionysius Exiguus im ersten Drittel des 6. Jahrhunderts erreicht.

In Irland wurde mit dem Christentum ein 84-jähriger Osterzyklus eingeführt, der später durch irische Mönche auch in Gallien bzw. dem Frankenreich Eingang fand. Die Differenzen zwischen Rom einerseits sowie Irland und Gallien andererseits (irisch-gallischer Osterfeststreit) wurden endgültig erst im Jahre 729 beigelegt, als der 532-jährige Osterzyklus in Britannien übernommen wurde. Im Frankenreich war man im 5. Jahrhundert zum 532-jährigen Zyklus des Victorius übergegangen, dessen Osterdaten teilweise von denen des von der römischen Kirche anfangs des 6. Jahrhunderts eingeführten Dionysischen Zyklus abwichen. Erst gegen Ende des 8. Jahrhunderts wurde unter der Regierung Karls des Großen der Dionysische Zyklus angenommen.

Die Festlegung des Frühlingsanfanges barg - die Übereinstimmung des Julianischen Kalenders mit den astronomischen Erscheinungen vorausgesetzt - recht wenig Probleme. Das wirkliche Frühlingsäquinoktium lag im Jahre 325 in der Nähe des 21. März (seit der Einführung des Kalenders durch Cäsar hatte es sich schon um drei Tage vom ursprünglichen 24. März verschoben), weshalb man für die Osterberechnung den Frühling stets mit dem 21. März beginnen ließ. Damit war der frühestmögliche Ostertag der 22. März.

Zyklische Mondberechnung

Der Berechnung der Vollmonde legte man den sogenannten metonischen Zyklus zu Grunde. Dieser Zyklus ist nach dem griechischen Astronomen und Mathematiker Meton benannt worden, der im 5. Jahrhundert v. u. Z. in Athen wirkte. Allerdings war schon vor ihm babylonischen Astronomen bekannt, dass 235 (synodische) Mondmonate ziemlich genau 19 (tropischen) Jahren entsprachen. Unter dieser Voraussetzung mussten die Neumonde nach 19 julianischen Jahren wieder auf dieselben Daten fallen. Zur Bezeichnung der Jahre innerhalb dieses 19-jährigen Zyklus errechnete man die so genannte Goldene Zahl. Sie ist der um eins vermehrte Rest der Division der Jahreszahl durch 19. Zum Beispiel hatte das Jahr 1492 die Goldene Zahl 11. In allen Jahren mit der gleichen Goldenen Zahl mussten nun die Neumonde auf die gleichen Daten fallen.

Im Jahre 322 u. Z. fiel ein (astronomischer) Neumond in die Abendstunden des 24. Dezember. Die Goldene Zahl für das Jahr(1) 322 u. Z. war 19. Da das kirchliche Jahr mit dem 25. Dezember, dem Weihnachtstage, begann, setzte man den Beginn des 19-jährigen Zyklus auf den 24. Dezember der Jahre mit der Goldenen Zahl 19.

Die Datierung der Tage in diesem Mondkalender beruhte auf Monaten von abwechselnd 30 und 29 Tagen, beginnend mit einem 30-tägigen Monat. Der 24. Dezember war der erste Tag des ersten 30-tägigen Mondmonats, dessen letzter Tag somit der 22. Januar des neuen Jahres war. Mit dem 23. Januar begann ein 29-tägiger Mondmonat usf. Da ein Mondmonat etwas länger als 29,5 Tage ist, wurden im Laufe der 19 Jahre des Mondzyklus siebenmal Schaltmonate mit 30 Tagen eingefügt. Die Schalttage der Schaltjahre schob man ein, ohne an ihnen den Mondkalender weiterzuzählen. Um den neuen Mondzyklus wieder mit dem 24. Dezember beginnen zu lassen, musste im letzten Jahr des Zyklus ein Tag fortgelassen werden. Diese Weglassung nannte man den saltus lunae.(2)

Durch diese Anordnung hatte ein Mondmonat eine durchschnittliche Länge von 29,53085 Tagen. Die wahre Länge eines (synodischen) Monats ist jedoch 29,53059 Tage. Der Unterschied zwischen zyklischem und wahrem Neumond wuchs in etwa 310 Jahren zu einem Tag an.(3)

Nach dieser Anordnung konnten die zyklischen Neumonde berechnet werden. Die folgende Tabelle zeigt die zyklischen Neumonde in den 19 Jahren eines Mondzyklus. In der Zeile eines Monats sind die Tage angegeben, auf die in den betreffenden Jahren ein Neumond fällt. Die Neumonde am Beginn der sieben Schaltmonate sind fett hervorgehoben. Der erste Neumond eines jeden Mondzyklus fällt auf den 24. Dezember der Jahre mit der Goldenen Zahl 19.

Die Nummer eines Tages im laufenden Mondmonat bezeichnete dessen Mondalter. Der Tag des zyklischen Neumondes trug dabei die Nummer 1. Der zyklische Vollmond trat am 14. Tag des Mondmonats ein. Beispielsweise fällt in einem Jahr, dessen Goldene Zahl 8 ist, ein zyklischer Neumond auf den 4. Februar. Der auf diesen Neumond folgende (zyklische) Vollmond fällt demnach auf den 17. Februar. Der erste Vollmond eines Jahres, der auf oder nach den 21. März (den Frühlingsanfang) fällt, wurde als Ostergrenze (terminus paschalis) bezeichnet. Für Jahre mit der Goldenen Zahl 7 war beispielsweise der 30. März die Ostergrenze.

Hatte man die Ostergrenze festgestellt, musste der erste Sonntag nach dieser ermittelt werden. Dazu verwendete man die so genannten Sonntagsbuchstaben: Man versah jeden Tag des Jahres mit einem Tagesbuchstaben, indem man hinter den 1. Januar eines Jahres den Buchstaben A schrieb, hinter den 2. Januar ein B usw. Der 7. Januar schließlich wurde mit einem G gekennzeichnet. Am 8. Januar begann man wieder mit A und führte dieses für das ganze Jahr durch, wobei der 29. Februar unberücksichtigt blieb. Jedes Jahr wurde nun mit dem Buchstaben desjenigen Tages gekennzeichnet, auf den der erste Sonntag in diesem Jahr fiel. Zum Beispiel war der 1. Januar 1307 ein Sonntag, weshalb 1307 den Sonntagsbuchstaben A erhielt. Damit konnten leicht all diejenigen Tage als Sonntage identifiziert werden, hinter denen ein A geschrieben stand.

In Schaltjahren verschoben sich ab dem 1. März die Wochentage durch den eingefügten Schalttag. Dies wurde durch doppelte Sonntagsbuchstaben gekennzeichnet, deren erster für die Monate Januar und Februar galt, während der zweite für die Monate März bis Dezember stand. So hatte das Jahr 1320 die Sonntagsbuchstaben FE; das bedeutet, der 6. Januar war der erste Sonntag in diesem Jahre. Alle weiteren Tage mit dem Tagesbuchstaben F im Januar und Februar 1320 waren ebenfalls Sonntage, während die Sonntage in den Monaten März bis Dezember auf die Tage mit dem Tagesbuchstaben E fielen.

Zur Bestimmung des Ostersonntages ging man, ausgehend von der Ostergrenze, zum nächsten Tag, neben dem der Sonntagsbuchstabe des betreffenden Jahres stand.

Ein Beispiel soll die Bestimmung des Ostersonntages zeigen: Auf welches Datum fiel Ostern im Jahre 1311? Zunächst ermittelte man die Goldene Zahl: (1311 mod 19) + 1 = 1. Der Sonntagsbuchstabe ist C. Der erste zyklische Vollmond am oder nach dem 21. März fiel auf den 5. April; es ist der Vollmond, der auf den zyklischen Neumond am 23. März folgt. Der 5. April hat den Tagesbuchstaben D, und das nächstfolgende C findet sich neben dem 11. April, dem Ostersonntag.

Epakten

Zur Vereinfachung der Osterberechnung dienten die Epakten, die das Mondalter des 22. März eines Jahres beschrieben. Da ein Mondjahr etwa elf Tage kürzer ist als ein julianisches Jahr, muss der Wert der Epakte mit jedem Jahr um elf Einheiten wachsen. Im ersten Jahr des Mondzyklus hat die Epakte den Wert 0, im zweiten 11, im dritten 22. Ein zyklischer Mondmonat hat maximal 30 Tage, weshalb im vierten Jahr der Wert der Epakte 3 ist, also 30 abgezogen wurde(4). Die Epakte "springt" beim übergang vom letzten Jahr eines Mondzyklus zum ersten des nächsten Zyklus durch den fortgelassenen Tag um 12 Einheiten, wodurch die Bezeichnung saltus lunae entstand.

Durch die Berechnung der Epakten konnte nun leicht der Termin der Ostergrenze bestimmt werden, indem man vom 22. März 14 Tage weiterzählte und von dort die Anzahl Tage zurückging, wie der Wert der Epakte betrug. Gelangte man dadurch auf ein Datum vor dem 21. März, so musste noch einmal 30 Tage vorangegangen werden. Auf diese Weise konnte jeder Goldenen Zahl eine Ostergrenze zugeordnet werden. Um den nächsten Sonntag einfacher zu finden, konnte zusätzlich der der Ostergrenze zugeordnete Tagesbuchstabe angegeben werden. Wurden Epakte, Ostergrenze und deren Tagesbuchstabe notiert, erhielt man die folgende Tabelle. (M = März, A = April)

Das Osterdatum eines Jahres ist im geschilderten Verfahren allein durch dessen Goldene Zahl und den Sonntagsbuchstaben bestimmt. Im Falle eines Schaltjahres ist dabei der zweite der Sonntagsbuchstaben der maßgebende. So konnte mit Hilfe der folgenden Tabelle bequem das Datum des Ostersonntages eines jeden Jahres ermittelt werden.

Die Ostergrenzen wiederholten sich nach 19 Jahren, während die Wochentage im Julianischen Kalender nach 28 Jahren wieder auf die gleichen Daten fielen. Somit wiederholte sich die Abfolge der Daten des Ostersonntages aller 19 · 28 = 532 Jahre. Dieser Zyklus wurde der Dionysische (nach Dionysius Exiguus) oder Victorianische (nach Victorius) genannt. Auch findet man, dass das frühestmögliche Osterdatum der 22. März ist, das späteste hingegen der 25. April.

Der 19-jährige Zyklus war eine recht grobe Näherung des wahren synodischen Mondmonats. Da sich die Abweichung zwischen zyklischen und wahren Neumonden aller 310 Jahre um einen Tag vergrößerte, stellte man bald fest, dass die zyklischen Neumonde den wirklichen hinterherliefen. Im 16. Jahrhundert hatten sich seit dem 4. Jahrhundert schon knapp 4 Tage angesammelt. Daher umfasste die Gregorianische Kalenderreform auch eine Verbesserung der Osterberechnung.

Gregorianischer Kalender

Die gregorianische Reform des julianischen Kalenders geht auf die Gelehrten Aloysius Lilius, (Luigi Lilio oder Giglio Ghiraldi), und Christoph Clavius (Christoph Klau), zurück. Der der verbesserten Osterrechnung zugrunde gelegte Mondzyklus hatte ebenfalls eine Länge von 19 Jahren, wurde jedoch zu bestimmten Zeitpunkten korrigiert.

Die zyklische Mondberechnung des Gregorianischen Kalenders wird hauptsächlich Lilius zugeschrieben. Auch in ihr wechseln 30- und 29-tägige Mondmonate ab. Zur Bestimmung der zyklischen Neumonde wurde der so genannte Immerwährende Gregorianische Kalender entworfen, dessen Konstruktion im Folgenden beschrieben werden soll. In ihm wird jeder Tag des Jahres, außer der 29. Februar, mit einer Epakte (neuen Stils) versehen. Dem 1. Januar wird die 0 zugewiesen (die Lilius nicht als 0 sondern als * schrieb). Mit ihm beginnt ein 30-tägiger Mondmonat, dessen Tage abwärts von 29 bis 1 gezählt werden. Es handelt sich also hierbei um die Anzahl der Tage bis zum nächsten zyklischen Neumond. Der 2. Januar erhält eine 29, der 3. Januar eine 28 usw. Der 30. Januar wird schließlich mit einer 1 versehen. Am 31. Januar beginnt ein 29-tägiger Mondmonat. Bei der Abwärtszählung der 29-tägigen Mondmonate werden die beiden Epakten 24 und 25 einem Tag zugeordnet. Auf diese Weise wird, abwechselnd mit 30- und 29-tägigen Mondmonaten, das ganze Jahr mit Epakten versehen, und es entsteht der in der folgenden Tabelle gezeigte Immerwährende Gregorianische Kalender. (Die hervorgehobenen Zahlen werden weiter unten erläutert.)

Die Zuordnung der zyklischen Neumonde zu den Jahren, in denen sie stattfinden geschieht über die Jahresepakten (neuen Stils). Wie im alten Kalender wechseln diese in einem 19-jährigen Zyklus. Zum Zeitpunkt der Einführung des Gregorianischen Kalenders hatten Jahre mit der Goldenen Zahl 1 die Jahresepakte 1. Die Jahresepakte eines jeden Jahres innerhalb des 19-Jahres-Zyklus erhöht sich um 11 Einheiten gegenüber der des Vorjahres, wobei diese Erhöhung modulo 30 geschieht. Der zur Zeit der Einführung des neuen Kalenders geltende Epaktenzyklus ist in der folgenden Tabelle dargestellt.

Die zyklischen Neumonde eines Jahres können nun bestimmt werden, indem die Jahresepakte des betreffenden Jahres ermittelt wird. Auf die im Immerwährenden Gregorianischen Kalender mit dieser Zahl gekennzeichneten Tage fällt ein zyklischer Neumond. Schreitet man von einem zyklischen Neumond dreizehn Tage voran, findet man den folgenden zyklischen Vollmond.

Bis zu diesem Punkt entspricht die neue Mondberechnung prinzipiell der alten. Um jedoch den Fehler gegenüber den wirklichen Längen von tropischem Jahr und synodischem Monat auszugleichen, machten sich weitere Korrekturmaßnahmen notwendig. Es waren zwei Faktoren zu berücksichtigen, nämlich

1. die Verschiebung der Neumonde in den Jahrhundertjahren, die zum Angleich an die Länge des tropischen Jahres keine Schaltjahre waren (also 1700, 1800, 1900, 2100 usf.) und
2. der aller etwa 310 Jahre zu einem Tag anwachsende Fehler des Metonischen Zyklus gegenüber der Länge des synodischen Monats.

Die Umsetzung der Korrekturen erfolgt über eine Anpassung der Jahresepakten zu bestimmten Zeitpunkten:

1. Der Weglassung des Schalttages in den nicht durch 400 teilbaren Jahrhundertjahren wird durch die Verringerung der Jahresepakten um eine Einheit Rechnung getragen. Dies bezeichnete man bei der Einführung der neuen Rechnung als Sonnengleichung.
2. Zum Ausgleich des Fehlers des Metonischen Zyklus wurde die so genannte Mondgleichung eingeführt. Sie besagt, dass in einem Zyklus von 2500 Jahren in acht Jahrhundertjahren die Jahresepakten um eine Einheit wachsen sollen, siebenmal nach jeweils 300 Jahren, ein achtes Mal nach 400 Jahren. Von der Mondgleichung sind beispielsweise die Jahre 1800, 2100, 2400, 2700, 3000, 3300, 3600, 3900 und 4300 betroffen, die unveränderte Gültigkeit des Gregorianischen Kalenders über diesen Zeitraum vorausgesetzt.

In denjenigen Jahrhundertjahren, in denen Sonnen- und Mondgleichung gleichzeitig eintreten, heben sich beide gegenseitig auf, und die Jahresepakten bleiben unverändert. Die Auswirkungen von Sonnen- und Mondgleichung auf die Jahresepakte der Jahre mit der Goldenen Zahl 1 zeigt die folgende Tabelle.

Die Jahresepakten, die sich im Ergebnis dieser Betrachtungen ergeben, fasst die nächste Tabelle zusammen. Sie gibt die Jahresepakten in Abhängigkeit von der Goldenen Zahl eines Jahres und vom Zeitraum wieder, in dem sich das betrachtete Jahr befindet.

Durch die Reform der Mondberechnung sollte so wenig wie möglich an den bisherigen Eigenschaften des Osterdatums verändert werden. Die Möglichkeit der Erhöhung bzw. Verringerung der Jahresepakten durch die Mond- und Sonnengleichung brachte hier jedoch ein Problem mit sich, das durch eine Ausnahmeregelung umgangen wurde. Die bisherigen Ostergrenzen sollten durch die Reform unangetastet bleiben, d. h. der Ostersonntag nur auf Daten vom (einschließlich) 22. März bis zum 25. April fallen. Zusätzlich hielt man es aber für notwendig, in allen Jahren eines 19-Jahres-Zyklus unterschiedliche Daten für die zyklischen Neu- bzw. Vollmonde zu erhalten.

Die Ostergrenzen erhielt Lilius dadurch, dass er die beiden Zahlen 24 und 25 im Immerwährenden Gregorianischen Kalender auf einen Tag setzte. Stünde die 25 nach der 24, würde ein Ostervollmond am 19. April möglich und damit ein Ostersonntag am 26. April, der außerhalb der Ostergrenzen liegt.

Ein schwierigeres Problem stellten die zyklischen Neumonddaten dar, da durch die Verschiebung der Epakten durch Sonnen- und Mondgleichung nun die Jahresepakten 24 und 25 in einem 19-Jahres-Zyklus vorkommen können. Da beide Epakten im Immerwährenden Gregorianischen Kalender dem gleichen Tag zugeordnet sind, ergäbe sich in den Jahren mit diesen beiden Jahresepakten das gleiche Datum für den Ostervollmond. Lilius sah für diesen Fall vor, dass die Epakte 25 dem Tag mit der Epakte 26 zugeschrieben wird. Dadurch fällt der zyklische Neumond einen Tag früher. In der obenstehenden Tabelle ist die in diesem Fall geltende Epakte von 25 hervorgehoben.

Der Fehler dieser neuen Mondberechnung gegenüber dem Gregorianischen Kalenderjahr beträgt theoretisch erst in über 70000 Jahren einen Tag und hat somit keine praktische Bedeutung, da durch den Fehler des Gregorianischen Kalenders sowie säkulare Änderungen der Monats- und Jahreslängen bis dahin schon längst eine Korrektur erfolgen muss.

Abweichende Osterberechnungen

Protestantische Länder des Heiligen Römischen Reiches

Im Jahre 1700 hatten die protestantischen Länder des Heiligen Römischen Reiches Deutscher Nation den bürgerlichen Teil des Gregorianischen Kalenders übernommen, nutzten aber zur Bestimmung des Osterfestes anstelle der zyklischen Rechnung astronomische Tafeln. Dadurch feierten in den Jahren 1724 und 1744 Katholiken und Protestanten Ostern an unterschiedlichen Tagen. Erst im Jahre 1776 wurde der Gregorianische Kalender in Deutschland unter der Bezeichnung "Allgemeiner Reichskalender" eingeführt.

Schweden

In Schweden hatte man 1700 den Schalttag ausgelassen, ohne den dabei verbleibenden Fehler von 10 Tagen zwischen dem schwedischen und dem Gregorianischen Kalender auszugleichen. Dadurch lagen die Daten der Ostersonntage in Schweden meist eine Einheit höher als die Daten der Ostersonntage des Julianischen Kalenders. In den Jahren 1705, 1709 und 1711 dagegen fiel der schwedische Ostersonntag eine Woche früher als der julianische. Nach dem Ausgleich der Differenz zwischen schwedischem und Julianischem Kalender durch den im Jahre 1712 eingefügten 30. Februar wurden in Schweden die Ostersonntage nach dem Julianischen Kalender gefeiert. 1740 aber wurde die von den Protestanten seit 1700 gebrauchte "astronomische" Osterrechnung übernommen und Ostern mit diesen gefeiert, obwohl der Julianische Kalender seine Gültigkeit behielt. Dies führte dazu, dass beispielsweise 1742 Ostern in Schweden am 14. März gefeiert wurde, einem Datum, das außerhalb der Ostergrenzen liegt.

Die folgende Tabelle gibt die Daten der in Schweden zwischen 1700 und 1752 gefeierten Osterfeste an. In der Spalte "(schwed.)" ist dabei das Datum im in Schweden gültigen Kalender genannt, unter "(greg.)" das Datum des schwedischen Ostersonntages im Gregorianischen Kalender.

Als in Deutschland die zyklische Osterberechnung auch von den Protestanten übernommen wurde, behielt Schweden eine "astronomische" Rechnung bei. Erst seit 1845 wird auch in Schweden der Ostertag zyklisch berechnet. Die Osterdaten in Schweden stimmen seit 1753 mit den gregorianischen überein, außer in den Jahren 1802, 1805 und 1818, in denen Ostern in Schweden eine Woche später als der zyklische Termin gefeiert wurde.

Finnland

Auch für Finnland gibt es einige Besonderheiten zu beachten. Bis 1809 war Finnland Teil Schwedens und feierte Ostern mit diesem. Ebenso wurde der Gregorianische Kalender mit Schweden 1753 eingeführt. 1809 fiel Finnland an Russland, in dem noch der Julianische Kalender galt. Trotzdem blieb in Finnland der neue Kalender gültig, wobei man Ostern 1825, 1829 und 1845 eine Woche später als nach dem Gregorianischen Kalender feierte.

Formeln zur Berechnung des Ostersonntags

Die kompliziert anmutenden Regeln zur Osterberechnung in einfach handhabbare Formeln umzusetzen ist eine Aufgabe, der sich seit der Einführung der zyklischen Osterberechnung unzählige Gelehrte gestellt haben. Am bekanntesten sind wohl die von Carl Friedrich Gauß aufgestellten Formeln.

Formeln von Gauß

In der Ausgabe der Zeitschrift "Monatliche Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmelskunde" vom August 1800 stellte der damals 23-jährige (!) Mathematiker C. F. Gauß ("Doctor Gaus in Braunschweig") in seinem Beitrag "Berechnung des Osterfestes" die folgenden Formeln zur Berechnung des Datums des Ostersonntages vor. Gauß berechnet für das Jahr J die Zahlen

Ostersonntag ist der (22 + d + e). März bzw. der (d + e − 9). April.

M und N sind hierbei Konstanten für den Julianischen Kalender, während sie für den Gregorianischen Kalender Hilfszahlen sind, die für bestimmte Zeiträume gelten. Zusätzlich gelten für den Gregorianischen Kalender zwei Ausnahmen, auf die weiter unten eingegangen wird.

Für den Julianischen Kalender ist M = 15 und N = 6, und die Formeln lauten wie folgt.

Für den Gregorianischen Kalender gibt Gauß die Hilfszahlen M und N bis 2499 explizit an.

Es ist zu erkennen, dass die Zahl M mit den Epakten wechselt, während die Zahl N in jedem Jahrhundertjahr erhöht wird, außer in den nicht durch die Sonnengleichung betroffenen Jahren. Die Erhöhung von M geschieht modulo 30 (Epakten), die der Zahl N modulo 7 (Wochentage).

Die beiden Sonderregeln, durch die Lilius die Ostergrenzen beibehielt und unterschiedliche Daten des Ostervollmondes innerhalb eines 19-Jahres-Zyklus' sicherstellte, bringen bei der Anwendung der gaußschen Osterformeln für den Gregorianischen Kalender zwei Ausnahmen mit sich:

1. Ist das Ergebnis der 26. April, so fällt der Ostersonntag auf den 19. April.
2. Ist d = 28, e = 6 und ist zusätzlich noch (11 · M + 11) mod 30 < 19, so ist Ostern nicht der sich nach den Formeln ergebende 25. April, sondern stattdessen der 18. April.

Von der ersten Ausnahme sind z. B. die Jahre 1609, 1981, 2076 und 2133 betroffen, von der zweiten die Jahre 1954, 2049 und 2106.

Für die Zahlen M und N gibt Gauß auch Formeln an:

Diese Formeln sind fehlerbehaftet, denn der Ausdruck für p unterstellt eine Anwendung der Mondgleichung aller 300 Jahre, berücksichtigt also nicht, dass innerhalb eines 2500-Jahres-Zyklus die Mondgleichung siebenmal aller 300, das achte Mal jedoch erst nach 400 Jahren angewendet wird. Ab dem Jahre 4200 liefern die Formeln immer häufiger falsche Werte.

Korrektur der Gaußschen Formeln von Oudin

Mit den fehlerhaften Formeln Gauß' sowie der Berechnung des Osterfestes befasste sich der Artikel "Étude sur la date de Pâques" von J.-M. Oudin, der im "Bulletin astronomique" im Jahre 1940 erschien. Oudin erweiterte Gauß' Formel für p um einen Korrekturterm(5). Oudin berechnet p durch

Berechnet man M mit diesem korrigierten p, ergeben sich auch nach 4200 korrekte Daten.

Formeln von Oudin

Oudin nannte in seinem Aufsatz die Jahreszahl m (für millésime) und gab die folgenden Formeln für die Berechnung des Ostersonntages an.

Der Ostersonntag ist dann der (28 + R − J)-te März bzw. der (R − J − 3)-te April des betreffenden Jahres.

Formeln aus dem Magazin "Nature"

Im Magazin "Nature" vom 20. April 1876 veröffentlichte ein anonymer Autor eine Tabelle mit Regeln zur Berechnung des (Gregorianischen) Ostersonntages des Jahres J. In Formeln ausgedrückt erhält man das Folgende:

n ist hierbei die Nummer des Monats, o + 1 die Nummer des Tages auf welchen der Ostersonntag im Jahr J fällt. Dieser Algorithmus kommt ohne Hilfszahlen aus.

Vom Datum des Ostersonntages hängen einige weitere Feiertage ab. Faschingsdienstag und Aschermittwoch liegen 47 bzw. 46 Tage vor Ostern, Christi Himmelfahrt 39 Tage nach Ostern, Pfingstmontag 50 Tage danach, und Fronleichnam wird 60 Tage nach Ostern gefeiert.

Osterrechner

Der Osterrechner kann zur Ermittlung des Ostersonntages eines bestimmten gregorianischen oder julianischen Jahres genutzt werden. Die Berechnung erfolgt für den Gregorianischen Kalender mit Hilfe des Algorithmus' von Oudin, die für den Julianischen Kalender mittels der Formeln von Gauß. Die Jahresangabe muss vollständig erfolgen, es darf also nicht 72 für 1972 geschrieben werden. Die Julianischen Osterdaten werden nach Dionysius berechnet. Abweichend gefeierte Osterfeste (bis ins 8. Jahrhundert) bleiben unberücksichtigt.

Anmerkungen

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http://www.ortelius.de/kalender/east_de.php   © Holger Oertel 2000-2008; letzte Änderung: 19. August 2007